Question

4．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁，由条件求得首项，根据a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1+1=2（a_n+1），判断出数列{a_n+1}是等比数列；
（2）利用等比数列的通项公式求得a_n+1，进而求得a_n；
（3）设存在k，k+1，k+2∈N^*，使得a_k，a_k+1，a_k+2成等差数列，根据等差中项的性质，化简整理，结合指数函数的值域，即可判断存在性．

解答 解：（1）证明：因为S_n=2a_n-n，
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
因为S_n=2a_n-n，
所以S_n+1=2a_n+1-（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，
所以a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）
数列{a_n+1}是首项和公比均为2的等比数列；
（2）由（1）知，数列{a_n+1}是等比数列，
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（3）假设存在k，k+1，k+2∈N^*，使得a_k，a_k+1，a_k+2成等差数列，
则2a_k+1=a_k+a_k+2，即2（2^k+1-1）=2^k-1+2^k+2-1，
即2^k+2=2^k+2^k+2，即有2^k=0，这与2^k＞0矛盾，
故数列{a_n}中不存在连续三项可以构成等差数列．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，探索数列{a_n}中是否存在连续三项成等差数列，注意构造法和转化思想的运用，属于中档题．