Question

19．以（1，0），（-1，0）为焦点的椭圆与y=x-2有公共点，则该椭圆离心率的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 设出椭圆的方程，求出离心率的平方，将直线方程代入椭圆方程得得到的关于x的一元二次方程的判别式大于0，求出 b² 的最小值，此时的离心率最大，求解即可．

解答 解：由题意知，c=1，a²-b²=1，故可设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
离心率的平方为 $\frac{1}{{b}^{2}+1}$   ①，∵直线x-y-2=0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得
（2b²+1）x²-4（b²+1）x+3b²+4-b⁴=0，由△=16（b⁴+2b²+1）-4（2b²+1）（3b²+4-b⁴）≥0，
∴2b⁴-3b²≥0，∴b²≥$\frac{3}{2}$，或 b²≤0（舍去），∴b² 的最小值为$\frac{3}{2}$，a²=$\frac{5}{2}$，
∴离心率最大值为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程和简单性质，利用直线和椭圆有交点可得判别式大于或等于0．