Question

9．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB₁C₁C为矩形，D，E，F分别是线段BB₁，AC₁，A₁C₁的中点．
（1）求证：DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）若平面ABC⊥平面BB₁C₁C，BB₁=4，求三棱锥C-AC₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）连结B₁F，则四边形DEFB₁是平行四边形，从而DE∥B₁F，由此能证明DE∥平面A₁B₁C₁．
（2）过A作AH⊥BC于H，三棱锥C-AC₁D的体积${V}_{C-A{C}_{1}D}$=${V}_{A-C{C}_{1}D}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连结B₁F，
∵D，E，F分别是线段BB₁，AC₁，A₁C₁的中点．
∴EF是△AA₁C₁的中位线，∴EF∥AA₁，且EF=$\frac{1}{2}$AA₁，
又AA₁∥BB₁，且AA₁=BB₁，DB₁=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴EF∥DB₁，EF=DB₁，
∴四边形DEFB₁是平行四边形，从而DE∥B₁F，
又DE?平面A₁B₁C₁，B₁F?平面A₁B₁C₁，
∴DE∥平面A₁B₁C₁．
解：（2）过A作AH⊥BC于H，
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AH⊥平面BB₁C₁C，
∴三棱锥C-AC₁D的体积：
${V}_{C-A{C}_{1}D}$=${V}_{A-C{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△C{C}_{1}D}$•AH
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×C{C}_{1}×BC×\frac{\sqrt{3}}{2}BC$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．