Question

9．已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．

Answer 1

分析 （1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；
（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值．

解答 解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆的半径$\sqrt{2}$，
即$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得：a=-1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，同理可得k=2$±\sqrt{6}$，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=（2$±\sqrt{6}$）x---------（6分）
（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|²=|PC|²-|CM|²．
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．∴2x₁-4y₁+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x-4y+3=0的距离d=$\frac{3}{\sqrt{4+16}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．--（12分）

点评 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，会根据条件求动点的轨迹方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．