Question

14．设集合A=[0，1），B=[1，2]，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2}，x∈A\\ 2（{1-x}），x∈B\end{array}$，若x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，则x₀的取值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得0≤x₀＜1，从而$f（{x}_{0}）={x}_{0}+\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），由f（x₀）∈[$\frac{1}{2}，1$）和f（x₀）∈[$1，\frac{3}{2}$）两种情况分类讨论经，能求出x₀的取值．

解答 解：∵集合A=[0，1），B=[1，2]，
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2}，x∈A\\ 2（{1-x}），x∈B\end{array}$，x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，
∴0≤x₀＜1，∴$f（{x}_{0}）={x}_{0}+\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
当f（x₀）∈[$\frac{1}{2}，1$）时，即x₀∈[0，$\frac{1}{2}$）时，
f[f（x₀）]=f（${x}_{0}+\frac{1}{2}$）=x₀+1∈[1，2），
∵f[f（x₀）]∈A，∴x₀+1∈[0，1），不成立；
当f（x₀）∈[$1，\frac{3}{2}$）时，即x₀∈[$\frac{1}{2}$，1）时，
f[f（x₀）]=f（${x}_{0}+\frac{1}{2}$）=2（1-${x}_{0}-\frac{1}{2}$）=1-2x₀，
∵f[f（x₀）]∈A，即1-2x₀∈[0，1），
由x₀∈[$\frac{1}{2}$，1），得1-2x₀∈（-1，0]，
∴1-2x₀=0，解得x₀=$\frac{1}{2}$．
综上，x₀=0．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．