Question

17．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4-x），且对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁+2）-f（x₂+2）]＞0，则满足f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$）的所有x的和为（　　）

• A． -3
• B． -5
• C． -8
• D． 8

Answer 1

分析 确定f（x）在（2，+∞）上递增，函数关于x=2对称，利用f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$），可得2-x=$\frac{3x+11}{x+4}$，或2-x+$\frac{3x+11}{x+4}$=4，即x²+5x+3=0或x²+3x-3=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：∵对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁+2）-f（x₂+2）]＞0，
∴f（x）在（2，+∞）上递增，
又∵f（x）=f（4-x），
∴f（2-x）=f（2+x），
即函数关于x=2对称，
∵f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$），
∴2-x=$\frac{3x+11}{x+4}$，或2-x+$\frac{3x+11}{x+4}$=4，
∴x²+5x+3=0或x²+3x-3=0，
∴满足f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$）的所有x的和为-8，
故选C．

点评 本题考查函数图象的对称性、单调性，考查韦达定理的运用，正确转化是关键．