Question

16．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 利用长方体的性质、线面角的定义、异面直线所成的角的定义即可得出．

解答 解：如图所示：
∵B₁B⊥平面ABCD，∴∠BCB₁是B₁C与底面所成角，
∴∠BCB₁=60°．
∵C₁C⊥底面ABCD，∴∠CDC₁是C₁D与底面所成的角，
∴∠CDC₁=45°．
连接A₁D，A₁C₁，则A₁D∥B₁C．∴∠A₁DC₁或其补角为异面直线B₁C与C₁D所成的角．
不妨设BC=1，则CB₁=DA₁=2，$B{B}_{1}=C{C}_{1}=\sqrt{3}$=CD，
∴${C}_{1}D=\sqrt{6}$，A₁C₁=2．
在等腰△A₁C₁D中，cos∠A₁DC₁=$\frac{\frac{1}{2}{C}_{1}D}{{A}_{1}D}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故选：A．

点评 熟练掌握长方体的性质、线面角与异面直线所成的角的定义是解题的关键．