Question

6．已知曲线C 的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设l₁：θ=$\frac{π}{6}$，l₂：θ=$\frac{π}{3}$，若l ₁、l₂与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将C参数方程化为普通方程，利用$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入，可得曲线C 的极坐标方程．
（Ⅱ）法一：利用参数的几何意义，求|OB|，|OA|，∠AOB=60°，即可求△AOB的面积，
法二：在平面直角坐标系中，根据l₁：θ=$\frac{π}{6}$，l₂：θ=$\frac{π}{3}$，求出方程与圆C求解交点A和B，|OB|，|OA|，∠AOB=60°，即可求△AOB的面积，

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α为参数），利用sin²α+cos²α=1，
$\sqrt{5}sinα=x-2$，$\sqrt{5}cosα$=y-1，可得：（x-2）²+（y-1）²=5．
∴曲线C的普通方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ
即曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．
（Ⅱ）解法一：在极坐标系中，C：ρ=4cosθ+2sinθ

∴由$\left\{{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}}\\{ρ=4cosθ+2sinθ}\end{array}}\right.$得到$|{OA}|=2\sqrt{3}+1$；
同理$|{OB}|=2+\sqrt{3}$．
又∵$∠AOB=\frac{π}{6}$
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|sin∠AOB=\frac{{8+5\sqrt{3}}}{4}$．
即△AOB的面积为$\frac{{8+5\sqrt{3}}}{4}$．…（10分）
解法二：在平面直角坐标系中，C：（x-2）²+（y-1）²=5
l₁：θ=$\frac{π}{6}$，l₂：θ=$\frac{π}{3}$，可得${l_1}：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，${l_2}：y=\sqrt{3}x$
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}\\{{{（{x-2}）}^2}+{{（{y-1}）}^2}=5}\end{array}}\right.$得$A（{\frac{{6+\sqrt{3}}}{2}，\frac{{2\sqrt{3}+1}}{2}}）$
∴$|{OA}|=2\sqrt{3}+1$
同理$B（{\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}，\frac{{2\sqrt{3}+3}}{2}}）$
∴$|{OA}|=2\sqrt{3}+1$，$|{OB}|=2+\sqrt{3}$
又∵$∠AOB=\frac{π}{6}$
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|sin∠AOB=\frac{{8+5\sqrt{3}}}{4}$
即△AOB的面积为$\frac{{8+5\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的换算．参数方程的几何意义的运用．属于中档题．