Question

16．如图，空间几何体ADE-BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF
是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM-BCF的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥ED，AD⊥DC，从而CD⊥平面AED，由此能证明AE⊥CD．
（2）当M是线段AE的中点时，连结CE交DF于N，连结MN，则MN∥AC，由此得到AC∥平面MDF．
（3）将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，空间几何体ADM-BCF的体积V_ADM-BCF=${V}_{三棱柱ADE-{B}^{'}CF}-{V}_{F-B{{B}^{'}C}_{\;}}$-V_F-DEM，由此能求出空间几何体ADM-BCF的体积．

解答 证明：（1）∵四边形CDEF是矩形，∴CD⊥ED，…（1分）
∵AD⊥DC，AD∩ED=D，
∴CD⊥平面AED，…（2分）
∵AE?平面AED，∴AE⊥CD．  …（3分）
解：（2）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF，…（4分）
证明如下：
连结CE交DF于N，连结MN，
∵M、N分别是AE、CE的中点，…（5分）
∴MN∥AC，又MN?平面MDF，AC?平面MDF，…（6分）
∴AC∥平面MDF                                        …（7分）
（3）将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，
∴三棱柱ADE-B′CF的体积V=S_△ADE•CD=$\frac{1}{2}×2×2×4$=8，…（8分）
空间几何体ADM-BCF的体积：
V_ADM-BCF=${V}_{三棱柱ADE-{B}^{'}CF}-{V}_{F-B{{B}^{'}C}_{\;}}$-V_F-DEM
=8-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×2$-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×4）×1$=$\frac{16}{3}$．…（11分）
∴空间几何体ADM-BCF的体积为$\frac{16}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．