Question

4．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，当F是PC中点时，求二面角C-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明平面AEF⊥平面PCD．
（Ⅱ）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AF-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∵E是BC中点，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD，…（1分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，…（2分）
又PA∩AE=A，
∴AE⊥平面PAD，…（3分）
又AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD． …（4分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…（5分）
∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM与平面PAD所成的角，…（6分）
在Rt△AME中，tan$∠AME=\frac{\sqrt{6}}{2}$，即$\frac{AE}{AM}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设AB=2a，则AE=$\sqrt{3}a$，得AM=$\sqrt{2}a$，
又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b），
∴AM=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，
从而b=a，∴PA=AD=2a，…（7分）
则A（0，0，0），B（$\sqrt{3}a$，-a，0），C（$\sqrt{3}a，a，0$），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（$\sqrt{3}a，0，0$），F（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，a），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}a，0，0$），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，a），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}a，3a，0$），…（8分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}ax=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=\frac{\sqrt{3}}{2}ax+\frac{a}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取z=a，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2a，a），…（9分）
又BD⊥平面ACF，∴$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}a，3a，0$）是平面ACF的一个法向量，…（10分）
设二面角C-AF-E的平面角为θ．
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{6{a}^{2}}{\sqrt{5}a•2\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（11分）
∴二面角C-AF-E的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．