Question

15．已知函数$f（x）=2ln（x+1）+\frac{1}{2}m{x^2}-（2m+1）x$
（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，根据函数的极值点的个数，确定m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2}{x+1}$+mx-（2m+1），
由已知得，f′（1）=1-m=0，m=1，
此时f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
由f′（x）=0，得x=1或x=2，
随x的变化f′（x）、f（x）的变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

故f（x）极大值为f（1）=-$\frac{5}{2}$；f（x）极小值为f（2）=2ln2-4；
（Ⅱ）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（mx-1）（x-2）}{x+1}$，
（1）当m=0时，f′（x）=$\frac{-x+2}{x+1}$，
x∈（0，2），f′（x）＞0，x∈（2，+∞），f′（x）＜0，
所以x=2时，f（x）取得极大值；
（2）当m≠0时，由f′（x）=0，得x=2或x=$\frac{1}{m}$，
①若m＜0，则$\frac{1}{m}$＜0，x∈（0，2），f′（x）＞0，x∈（2，+∞），f′（x）＜0，
所以x=2时，f（x）取得极大值；
②若m=$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{m}$=2，f′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{2x}$≥0，
f（x）在（0，+∞）上为增函数，无极值；
③若0＜m＜$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{m}$＞2，随x的变化f′（x）、f（x）的变化情况如下：

x	（0，2）	2	（2，$\frac{1}{m}$）	$\frac{1}{m}$	（$\frac{1}{m}$，+∞）
f′（x））	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以，当x=2时，f（x）取得极大值；当x=$\frac{1}{m}$时，f（x）取得极小值．
④若m＞$\frac{1}{2}$，则0＜$\frac{1}{m}$＜，随x的变化f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，$\frac{1}{m}$）	$\frac{1}{m}$	（$\frac{1}{m}$，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以，当x=$\frac{1}{m}$时，f（x）取得极大值；当x=2时，f（x）取得极小值，
综上：f（x）有两个极值点，m的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．