Question

5．设$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1}），\overrightarrow n=（{cos\frac{x}{4}，{{cos}^2}\frac{x}{4}}）$，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）当x=π时，求函数f（x）的值；
（2）已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足bcosC+$\frac{1}{2}$c=a，求△ABC的内角B的大小．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用平面向量的数量积运算法则表示出f（x），再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，并利用两角和与差的正弦公式化简为一个角的正弦函数，将x=π代入计算即可求出值；
（2）利用余弦定理化简已知等式，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将得出关系式代入求出cosB的值，即可确定出B的度数．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
当x=π时，f（π）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（2）由余弦定理及已知bcosC+$\frac{1}{2}$c=a得：b•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{1}{2}$c=a，
化简得a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．