Question

13．已知向量$[\begin{array}{l}\;1\\-1\end{array}]$是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．

Answer 1

分析 设$A=[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}]$，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．

解答 解：设$A=[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}]$，
因为向量$[\begin{array}{l}\;1\\-1\end{array}]$是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量，
所以$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}]=（-1）[{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{-1}\\ 1\end{array}}]$．所以$\left\{\begin{array}{l}a-b=-1\\ c-d=1\end{array}\right.$…4分
因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），
所以$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]=[{\begin{array}{l}3\\ 3\end{array}}]$．所以$\left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ c+d=3\end{array}\right.$…8分
解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以$A=[{\begin{array}{l}1&2\\ 2&1\end{array}}]$．…10分．

点评 本题考查矩阵的变换，考查方程思想，体现转化思想，属于中档题．