Question

13．已知f（x）=|x-a|+|x-1|
（Ⅰ）当a=2，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若对任意的x，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a的值带入，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＜4，即|x-2|+|x-1|＜4，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x-2+x-1＜4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{2-x+x-1＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{2-x+1-x＜4}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{7}{2}$，所以不等式的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{7}{2}$}．
（Ⅱ）∵|x-a|+|x-1|≥|a-1|，当且仅当（x-a）（x-1）≤0时等号成立，
由|a-1|≥2，得a≤-1或a≥3，
即a的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道基础题．