Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c-2a）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$
（1）求B的大小；
（2）已知f（x）=cosx（asinx-2cosx）+1，若对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B），求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积定义和三角恒等变换化简即可求出cosB，得出B的值；
（2）化简f（x）的解析式，根据f（B）为f（x）的最大值求出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调区间列不等式解出．

解答 解：（1）∵（c-2a）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$，即（c-2a）accos（π-B）=abccosC，
∴2accosB=bcosC+ccosB，∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）f（x）=cosx（asinx-2cosx）+1=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+1}$sin（2x-φ），
∵对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B）=f（$\frac{π}{3}$），
∴sin（$\frac{2π}{3}$-φ）=1，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+1}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}+2kπ$$≤2x-\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了平面向量的数量积，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．