Question

19．已知双曲线方程为$\frac{x^2}{{{m^2}+4}}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． $（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{6}}}{2}，+∞）$
• C． $（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由题意，通径为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，a≥2，可得b=$\sqrt{a}$，利用e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，e＞1，即可得出结论．

解答 解：由题意，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，a≥2
∴b=$\sqrt{a}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．