Question

11．设F₁，F₂分别为椭圆C₁：$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}=1（{a_1}＞{b_1}＞0）$与双曲线C₂：$\frac{x^2}{{{a_2}^2}}-\frac{y^2}{{{b_2}^2}}=1（{a_2}＞0，{b_2}＞0）$的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F₁MF₂=90°，若椭圆的离心率${e_1}=\frac{3}{4}$，则双曲线C₂的离心率e₂的值为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 如图所示，设|F₁M|=m，|F₂M|=n，m+n=2a₁，m-n=2a₂，m²+n²=4c²，化简即可得出．

解答 解：如图所示，
设|F₁M|=m，|F₂M|=n，
则m+n=2a₁，m-n=2a₂，m²+n²=4c²，
可得：${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$=2c²，
可得$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}+\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=2，${e_1}=\frac{3}{4}$，
解得e₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．