Question

3．如图动直线l：y=b与抛物线y²=4x交于点A，与椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1交于抛物线右侧的点B，F为抛物线的焦点，则|AF|+|BF|+|AB|的最大值为（　　）

• A． $3\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用抛物线的定义，求出抛物线的焦点坐标，求出B的坐标，转化所求的距离为x的函数的关系式，然后求解最大值即可．

解答 解：直线l：y=b与抛物线y²=4x交于点A，F为抛物线的焦点，直线y=b与x=-1的交点为D，由抛物线定义，可知AF=AD，|AF|+|BF|+|AB|的最大值，
就是BD+BF的最大值，F（1，0），设B（x，b），椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1的焦点坐标（1，0）．
可得$\frac{{x}^{2}}{2}+{b}^{2}=1$，|AF|+|BF|+|AB|=x+1+$\sqrt{（x-1）^{2}+{b}^{2}}$=x+1+$\sqrt{（x-1）^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{2}}$
=x+1+$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{2}-2x+2}$=x+1+$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-x）$=1+$\sqrt{2}$+x（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），x∈（0，$\sqrt{2}$]．
当x=$\sqrt{2}$时，1+$\sqrt{2}$+x（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查直线与椭圆以及抛物线的位置关系的综合应用，考查函数思想的应用，是中档题．