Question

15．已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A、B的极坐标分别为A-（2，0）、B（-1，$\sqrt{3}$）
（1）求直线AB的直角坐标方程；
（2）在曲线C上求一点M，使点M到AB的距离最大，并求出些最大值．

Answer 1

分析 （1）求出直线的斜率，即可求直线AB的直角坐标方程；
（2）设M（2cosθ，2sinθ）（θ∈（0，2π]，M到直线AB的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ+2sinθ+2\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|4sin（θ+\frac{π}{3}）+2\sqrt{3}|}{2}$，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意A（-2，0），B（-1，-$\sqrt{3}$），∴k_AB=-$\sqrt{3}$，
∴直线AB的方程为y-0=-$\sqrt{3}$（x+2），即$\sqrt{3}$x+y+2$\sqrt{3}$=0；
（2）设M（2cosθ，2sinθ）（θ∈（0，2π]，M到直线AB的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ+2sinθ+2\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|4sin（θ+\frac{π}{3}）+2\sqrt{3}|}{2}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）=1，即$θ=\frac{π}{6}$，d_max=2+$\sqrt{3}$，此时M（$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查直线方程，考查参数方程的运用，考查三角函数知识，属于中档题．