Question

16．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（　　）

• A． 1125$\sqrt{2}$π
• B． 3375$\sqrt{2}$π
• C． 450π
• D． 900π

Answer 1

分析 该几何体是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，从而求出该几何体的外接球的半径R=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，由此能求出该几何体的外接球的体积．

解答 解：该几何体的直观图如图所示，
这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，
ABCD是正方形，边长为15，
∴BO=$\frac{1}{2}\sqrt{1{5}^{2}+1{5}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，EO=$\sqrt{1{5}^{2}-（\frac{15\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
∴该几何体的外接球的半径R=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
∴该几何体的外接球的体积：
V=$\frac{4}{3}π×（\frac{15\sqrt{2}}{2}）^{3}$=1125$\sqrt{2}π$．
故选：A．

点评 本题考查几何体的外接球队的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．