Question

4．各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N⁺，6S_n=a_n²+3a_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由6S_n=a_n²+3a_n+2，可得n≥2时，6S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-1+2，相减可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，由a_n+a_n-1＞0，a_n-a_n-1=3，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 解：（1）由6S_n=a_n²+3a_n+2，可得n≥2时，6S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-1+2，
相减可得：6a_n=a_n²+3a_n+2-（${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-1+2），
整理为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，a_n-a_n-1=3，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3，a₁=1．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}$$[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．