Question

8．已知圆心在直线x+y-1=0上且过点A（2，2）的圆C₁与直线3x-4y+5=0相切，其半径小于5．
（1）若C₂圆与圆C₁关于直线x-y=0对称，求圆C₂的方程；
（2）过直线y=2x-6上一点P作圆C₂的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC₂D面积最小时，求直线CD的方程．

Answer 1

分析 （1）利用过点A（2，2）的圆C₁与直线3x-4y+5=0相切，$\sqrt{（a-2）^{2}+（1-a-2）^{2}}$=$\frac{|3a-4（1-a）+5|}{5}$，求出圆心与半径，可得圆C₁的方程，利用C₂圆与圆C₁关于直线x-y=0对称，即可求圆C₂的方程；
（2）求出四边形PCC₂D面积最小值，可得以PC₂为直径的圆的方程，即可求直线CD的方程．

解答 解：（1）由题意，设C₁（a，1-a），则
∵过点A（2，2）的圆C₁与直线3x-4y+5=0相切，
∴$\sqrt{（a-2）^{2}+（1-a-2）^{2}}$=$\frac{|3a-4（1-a）+5|}{5}$，
∴（a-2）（a-62）=0
∵半径小于5，
∴a=2，此时圆C₁的方程为（x-2）²+（y+1）²=9，
∵C₂圆与圆C₁关于直线x-y=0对称，
∴圆C₂的方程为（x+1）²+（y-2）²=9；
（2）设P（a，2a-6），圆C₂的半径r=2，
∴四边形PCC₂D面积S=2${S}_{△P{C}_{2}D}$=$2•\frac{1}{2}•|PD|•3$=3|PD|，
|PD|=$\sqrt{（a+1）^{2}+（2a-8）^{2}-9}$=$\sqrt{5（a-3）^{2}+11}$，
∴a=3时，|PD|_min=$\sqrt{11}$，此时面积最小为3$\sqrt{11}$，P（3，0）．
∵C，D在以PC₂为直径的圆上，
∴方程为（x-1）²+（y-1）²=5，
∵圆C₂的方程为（x+1）²+（y-2）²=9，
∴两个方程相减，可得CD的方程为4x-2y-1=0．

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．