Question

7．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}（t}\right.$为参数）．曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+si{n^2}θ}}}$．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线C与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为M，求$\frac{1}{{|{AM}|}}+\frac{1}{{|{BM}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程，可得直线l的倾斜角；利用互化公式将曲线C的极坐标方程$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$化为直角坐标方程．
（2）易知直线l与x轴的交点为M（1，0），从而直线l的参数方程的标准形式为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}T}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}T}\end{array}}\right.（T$为参数）．将直线l的方程代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得7T²+4T-4=0，利用根与系数的关系、参数的意义进而得出．

解答 解：（1）由直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数）化为普通方程为$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$，将曲线C的极坐标方程$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$化为直角坐标方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）易知直线l与x轴的交点为M（1，0），
从而直线l的参数方程的标准形式为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}T}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}T}\end{array}}\right.（T$为参数）．
将直线l的方程代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得$（1+\frac{1}{2}T{）^2}+2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}T{）^2}-2=0$，
整理得7T²+4T-4=0，所以${T_1}+{T_2}=-\frac{4}{7}，{T_1}{T_2}=-\frac{4}{7}$，
故$\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|BM|}$=$\frac{|AM|+|BM|}{|AM||BM|}$=$\frac{|{T}_{1}-{T}_{2}|}{|{T}_{1}{T}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{T}_{1}+{T}_{2}）^{2}-4{T}_{1}{T}_{2}}}{|{T}_{1}{T}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{\frac{16}{49}+\frac{16}{7}}}{\frac{4}{7}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次根与系数的关系、参数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．