Question

5．已知函数 f （x）=e^x（2x-m），（m∈R）．
（1）若函数 f （x）在（-1，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）当曲线 y=f （x）在x=0处的切线与直线 y=x平行时，设h（x）=f （x）-ax+a，若存在唯一的整数x₀使得h（x₀）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为m≤2x+2，（x＞-1），求出m的范围即可；
（2）法一：求出函数的导数，得到m的值，问题转化为$a＞\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，令$h（x）=\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，根据函数的单调性求出a的范围即可；
法二：根据存在唯一的整数使得x₀满足f（x₀）＜g（x₀），得到$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞f（0）\\ g（-1）≤f（-1）\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}g（2）＞f（2）\\ g（3）≤f（3）\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x（2x-m）+2e^x=e^x（2x+2-m）…（1分）
∵f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
∴f'（x）≥0在（-1，+∞）上恒成立                       …（2分）
即e^x（2x+2-m）≥0在（-1，+∞）上恒成立，
∴2x+2-m≥0即m≤2x+2（x＞-1）…（3分），
∵y=2x+2在（-1，+∞）上递增，
∴m≤0…（4分）
（2）法一：∵f'（x）=e^x（2x-m）+2e^x=e^x（2x+2-m）
依题有f'（0）=1，即m=1…（5分），
∴h（x）=e^x（2x-1）-ax+a
存在唯一的整数x₀，使得h（x₀）＜0，
$h（{x_0}）={e^{x_0}}（2{x_0}-1）-a（{x_0}-1）＜0$
所以${e^{x_0}}（2{x_0}-1）＜a（{x_0}-1）$，显然x₀=1不满足不等式             …（6分）
当x＞1时，$a＞\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，令$h（x）=\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，$h'（x）=\frac{{{e^x}（2{x^2}-3x）}}{{{{（x-1）}^2}}}$，
令$h'（x）=\frac{{{e^x}（2{x^2}-3x）}}{{{{（x-1）}^2}}}=0$，解得$x=0，x=\frac{3}{2}$…（7分）

x	$（1，\frac{3}{2}）$	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，+∞）$
h'（x）	-	0	+
h（x）	递减	$4{e^{\frac{3}{2}}}$	递增

…（8分）
又$h（2）=3{e^2}，h（3）=\frac{{5{e^3}}}{2}$，
存在唯一的整数x₀使得h（x₀）＜0，所以$3{e^2}＜a≤\frac{{5{e^3}}}{2}$…（9分）
当x＜1时，$a＜\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，令$h（x）=\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，$h'（x）=\frac{{{e^x}（2{x^2}-3x）}}{{{{（x-1）}^2}}}$，
令$h'（x）=\frac{{{e^x}（2{x^2}-3x）}}{{{{（x-1）}^2}}}=0$，解得$x=0，x=\frac{3}{2}$…（10分）

x	（-∞，0）	0	（0，1）
h'（x）	+	0	-
h（x）	递增	1	递减

又$h（-1）=\frac{3}{2e}$，h（0）=1，
存在唯一的整数x₀使得h（x₀）＜0，所以$\frac{3}{2e}≤a＜1$
综上实数a的取值范围为$[\frac{3}{2e}，1）∪（3{e^2}，\frac{{5{e^3}}}{2}]$…（12分）
法二：存在唯一的整数x₀使得h（x₀）＜0，
即存在唯一的整数使得x₀，f（x₀）＜g（x₀），即${e^{x_0}}（2{x_0}-1）＜a（{x_0}-1）$
考察函数f（x）=e^x（2x-1），f'（x）=e^x（2x+1），f'（x）=0解得$x=-\frac{1}{2}$

x	$（-∞，-\frac{1}{2}）$	$-\frac{1}{2}$	$（-\frac{1}{2}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	$-2{e^{-\frac{1}{2}}}$	递增

由（1）可知$a＜1，或a＞4{e^{\frac{3}{2}}}$…（7分）
因为存在唯一的整数使得x₀满足f（x₀）＜g（x₀），
所以$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞f（0）\\ g（-1）≤f（-1）\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}g（2）＞f（2）\\ g（3）≤f（3）\end{array}\right.$…（10分）
解得：$\frac{3}{2e}≤a＜1$或$3{e^2}＜a≤\frac{{5{e^3}}}{2}$
综上：实数a的取值范围为$[\frac{3}{2e}，1）∪（3{e^2}，\frac{{5{e^3}}}{2}]$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．