Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{a}$lnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+$\frac{1}{a}$）x，其中a≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当n≥2时，$\frac{1}{3ln1+2}+\frac{1}{3ln2+2}+…+\frac{1}{3lnn+2}＞\frac{n}{n+1}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{ax}$，对a进行分类讨论，可得不同情况下函数f（x）的单调区间；
（2）由（1）得当a=-$\frac{2}{3}$时，f（x）=-$\frac{3}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，在（0，1）上递减，在（1，+∞）时递增；进而可得f（x）≥f（1），即3lnx+2≤x²+x=x（x+1），故当x≥2时，$\frac{1}{3lnx+2}$＞$\frac{1}{x（x+1）}$=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，由裂项相消法，可证得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{a}$lnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+$\frac{1}{a}$）x，
∴函数f′（x）=$\frac{1}{ax}$+x-（1+$\frac{1}{a}$）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{ax}$，
若a＜0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
即此时函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；
若0＜a＜1，则当x∈（0，1）∪（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（1，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＜0，
即此时函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（$\frac{1}{a}$，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（1，$\frac{1}{a}$）；
当a=1时，f′（x）≥0恒成立，
即此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
若a＞1，则当x∈（0，$\frac{1}{a}$）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（$\frac{1}{a}$，1）时，f′（x）＜0，
即此时函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{a}$）和（1，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（$\frac{1}{a}$，1）；
证明：（2）由（1）得当a=-$\frac{2}{3}$时，f（x）=-$\frac{3}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，在（0，1）上递减，在（1，+∞）时递增；
则f（x）=-$\frac{3}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x≥f（1）=1，
即3lnx+2≤x²+x=x（x+1），
当x≥2时，$\frac{1}{3lnx+2}$＞$\frac{1}{x（x+1）}$=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，
故$\frac{1}{3ln1+2}+\frac{1}{3ln2+2}+…+\frac{1}{3lnn+2}$＞（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$

点评 本题考查的知识点是导数研究函数的单调性，放缩法证明不等式，裂项相消法求数列的和，综合性强，属于难题．