Question

6．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n}={a_n}-2（n≥2）$且a₁=2．则{a_n}的通项公式为a_n=n+1．

Answer 1

分析 $\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n}={a_n}-2（n≥2）$，可得n=2时，$\frac{{a}_{1}}{2}$=a₂-2，解得a₂=3.$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n}$+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=a_n+1-2，可得：$\frac{{a}_{n+1}}{n+2}$=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，即可得出．

解答 解：∵$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n}={a_n}-2（n≥2）$，
∴n=2时，$\frac{{a}_{1}}{2}$=a₂-2，解得a₂=3．
$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n}$+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=a_n+1-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=a_n+1-2-（a_n-2），化为：$\frac{{a}_{n+1}}{n+2}$=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n}$=…=$\frac{{a}_{2}}{3}$=1，
∴a_n=n+1，n=1时也成立．
故答案为：a_n=n+1．

点评 本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．