Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P-CD-A的大小为45°，求二面角P-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）延长AB交直线CD于点M，证明CM∥BE，即可使得直线CM∥平面PBE；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AD=2，则$BC=CD=\frac{1}{2}AD=1$．求出平面的法向量，即可求二面角P-CE-B的余弦值．

解答 解：（1）延长AB交直线CD于点M，
∵点E为AD的中点，∴$AE=ED=\frac{1}{2}AD$，
∵$BC=CD=\frac{1}{2}AD$，∴ED=BC，
∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．
∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，
∵BE?平面PBE，CM?PBE∴CM∥平面PBE，…（4分）
∵M∈AB，AB?平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE…（6分）
（2）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，即AP⊥CD又AB∩CD=M，
∴AP⊥平面ABCD． 
又∠ADC=90°即CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD．
因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，其大小为45°．
∴PA=AD．                                   …（8分）
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AD=2，则$BC=CD=\frac{1}{2}AD=1$．
∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（-1，2，0），B（-1，1，0）
∴$\overrightarrow{EC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{PE}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，
易知平面BCE的法向量为${\overrightarrow n_1}=\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$
设平面PCE的法向量为${\overrightarrow n_2}=（x，y，z）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}}\right.$，可得：$\left\{{\begin{array}{l}{y-2z=0}\\{-x+y=0}\end{array}}\right.$．
令y=2，则x=2，z=1，∴${\overrightarrow n_2}=（2，2，1）$．   …（10分）
设二面角P-CE-B的平面角为θ，
则$cosθ=|cos＜{\overrightarrow n_1}，{\overrightarrow n_2}＞|$=$\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}$=$\frac{2}{{\sqrt{9}×2}}=\frac{1}{3}$．
∴二面角P-CE-B的余弦值为$\frac{1}{3}$．            …（12分）

点评 本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．