Question

7．已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，$x∈（0\;，\;\;\frac{π}{2}）$相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 联立两曲线方程，可得tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{a}{2}$，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．

解答 解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，
即有tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{a}{2}$，a＞0，
设交点P（m，n），
f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，
g（x）=acosx的导数为g′（x）=-asinx，
由两曲线在点P处的切线互相垂直，
可得2cosm•（-asinm）=-1，
且tanm=$\frac{a}{2}$，
则$\frac{2asinmcosm}{si{n}^{2}m+co{s}^{2}m}$=1，
分子分母同除以cos²m，
即有$\frac{2atanm}{1+ta{n}^{2}m}$=1，
即为a²=1+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
解得a=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查同角三角函数的基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．