Question

15．已知{a_n}是公比不等于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₃=3，S₃=9
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={log_2}\frac{3}{{{a_{2n+3}}}}$，若${c_n}=\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（II）化简利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，q≠1，$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=3\\ \frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}=9\end{array}\right.$
化为$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=3\\{a_1}（1+q+{q^2}）=9\end{array}\right.$，------------------------------------------------（3分）
解得${a_1}=12，q=-\frac{1}{2}$，
∴${a_n}=12×{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$-------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）${a_{2n+3}}=12×{（-\frac{1}{2}）^{2n+2}}=3×{（\frac{1}{2}）^{2n}}$，${b_n}={log_2}\frac{3}{{{a_{2n+3}}}}={log_2}{2^{2n}}=2n$------（8分）
${c_n}=\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$-------------------------------------------------------（10分）${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$-----（12分）

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．