Question

12．已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．

Answer 1

分析 由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．

解答 解：设CD=x，则CE=2x．
因为CA=1，CB=3，
由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，
所以1×3=x•2x=2x²，所以$x=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．…2分
取DE中点H，则OH⊥DE．
因为$O{H^2}=O{E^2}-E{H^2}=4-{（\frac{3}{2}x）^2}=\frac{5}{8}$，
所以$OH=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$．…6分
又因为$CE=2x=\sqrt{6}$，
所以△OCE的面积$S=\frac{1}{2}OH•CE=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{10}}}{4}×\sqrt{6}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$． …10分．

点评 本题考查的是相交弦定理，垂径定理与勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．