Question

1．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（{1-a}）x-alnx$．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＜0，若对?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的定义域为（0，+∞），求导数，若a≤0，若a＞0，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性．
（Ⅱ）不妨设x₁≤x₂，而a＜0，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于?x₁，x₂∈（0，+∞），4x₁-f（x₁）≥4x₂-f（x₂），令g（x）=4x-f（x），通过函数的导数求解函数的最值，推出结果．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
求导数，得$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}+（{1-a}）x-a}}{x}=\frac{{（{x+1}）（{x-a}）}}{x}$，
若a≤0，则f'（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则由f'（x）=0得x=a，当0＜x＜a时，f'（x）＜0，当x＞a时，f'（x）＞0，
此时f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）不妨设x₁≤x₂，而a＜0，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x₁）≤f（x₂）
从而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于
?x₁，x₂∈（0，+∞），4x₁-f（x₁）≥4x₂-f（x₂）①
令g（x）=4x-f（x），则$g'（x）=4-f'（x）=4-（{x+1-a-\frac{a}{x}}）=\frac{a}{x}-x+3+a$，
因此，①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴$g'（x）=\frac{a}{x}-x+3+a≤0$对?x∈（0，+∞）恒成立，
∴$a≤\frac{{{x^2}-3x}}{x+1}$对?x∈（0，+∞）恒成立，∴$a≤{（{\frac{{{x^2}-3x}}{x+1}}）_{min}}$，
又$\frac{{{x^2}-3x}}{x+1}=x+1+\frac{4}{x+1}-5≥2\sqrt{（{x+1}）•\frac{4}{x+1}}-5=-1$，
当且仅当$x+1=\frac{4}{x+1}$，即x=1时，等号成立．
∴a≤-1，
故a的取值范围为（-∞，-1]．

点评 本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．