Question

12．已知函数f（x）的定义域为D，若对于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：
①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；
②f（x）=4-cosx；
③$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}（1≤x≤16）$；
④$f（x）=\frac{{{3^x}+2}}{{{3^x}+1}}$
其中为“三角形函数”的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，若f（x）为“三角形函数，则满足f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，即可．

解答 解：若f（x）为“三角形函数，
则f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，
①若f（x）=lg（x+1）（x＞0），则f（x）∈（0，+∞），不满足条件；
②若f（x）=4-cosx，则f（x）∈[3，5]，满足条件；
③若$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}（1≤x≤16）$，则f（x）∈[1，4]，不满足条件；
④若$f（x）=\frac{{{3^x}+2}}{{{3^x}+1}}$=1+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$，则f（x）∈（1，2），满足条件；
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及新定义“三角形函数”，根据条件转化为求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．