Question

2．已知函数$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为π，f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后关于直线x=0对称，则$f（x+\frac{π}{12}）+f（x-\frac{π}{6}）$的单调递增区间为（　　）

• A． [kπ-$\frac{11π}{24}$，kπ+$\frac{π}{24}$]（k∈Z）
• B． $[kπ+\frac{3π}{8}，kπ+\frac{7π}{8}]（k∈Z）$
• C． $[2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}]（k∈Z）$
• D． $[2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{7π}{4}]（k∈Z）$

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得$f（x+\frac{π}{12}）+f（x-\frac{π}{6}）$的单调递增区间．

解答 解：∵函数$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后，得到y=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+φ]=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）的图象，
根据所得图象关于直线x=0对称，可得函数y=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）为偶函数，∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故φ=-$\frac{π}{6}$，所得函数的解析式为y=sin（2x+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=cos2x．
则$f（x+\frac{π}{12}）+f（x-\frac{π}{6}）$=cos2（x+$\frac{π}{12}$）+cos2（x-$\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$）
=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin[（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{2}$]=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{5π}{12}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{11π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{π}{24}$，故函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{11π}{24}$，kπ+$\frac{π}{24}$]，
故选：A．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．