Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，（x＜1）}\\{{x}^{3}-9{x}^{2}+24x-16，（x≥1）}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x）=a（a为实数）根个数不可能为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，作出y=f（x）的函数图象，根据函数图象得出方程f（x）=a的解的情况．

解答 解：当x＜1时，f（x）为增函数，且f（0）=0；
当x≥1时，f′（x）=3x²-18x+24，
令f′（x）=3x²-18x+24=0，得x=2或x=4．
当1＜x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0，
∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=4，当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=0，
作出y=f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知：当a≤-1时，方程f（x）=a无解，
当-1＜a＜0或a＞4时，方程f（x）=a有1个解，
当a=0或e-1≤a＜4时，方程f（x）=a有3个解，
当a=4时，方程f（x）=a有2个解，
当0＜a＜e-1时，方程f（x）=a有4个解．
故选D．

点评 本题考查了函数单调性的判断，函数零点的个数与函数图象的关系，属于中档题．