Question

14．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A，B两点，E的准线与x轴交于点C，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B．
（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（|k|≥1）的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M，N两点，求$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B，即可求抛物线E和圆D的方程；
（Ⅱ）设直线m：y=kx+b（|k|≥1），则$\frac{|3k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，即k²+6kb+b²=8，联立y=kx+b与抛物线，利用韦达定理及向量数量积公式，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$F（\frac{p}{2}，0），A（\frac{p}{2}，p），B（\frac{p}{2}，-p），C（-\frac{p}{2}，0），{S_{△ABC}}={p^2}$，（1分）
由p²=4得p=2，圆D半径R=2$\sqrt{2}$，（3分）
所以抛物线E：y²=4x，圆（x-3）²+y²=8．（4分）
（Ⅱ）设直线m：y=kx+b（|k|≥1），
则$\frac{|3k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，即k²+6kb+b²=8，①
联立y=kx+b与抛物线得ky²-4y+4b=0，△=16-16kb，（5分）
由①知kb≤1，即△≥0（6分）
所以方程ky²-4y+4b=0有两个实数根y₁，y₂，且y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=$\frac{4b}{k}$（7分）
$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$=$\frac{1}{16}$[（y₁y₂）²-4（y₁+y₂）²+24y₁y₂+16]=$\frac{{b}^{2}+6kb{+}^{2}-4}{{k}^{2}}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$（11分）
因为|k|≥1，所以$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$的取值范围是（0，4]．（12分）

点评 本题考查抛物线与圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理、向量知识的运用，属于中档题．