Question

17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-6x+8=0，若直线y=2kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是$[0，\frac{6}{5}]$．

Answer 1

分析 由于圆C的方程为（x-3）²+y²=1，由题意可知，只需（x-3）²+y²=4与直线y=2kx-2有公共点即可．

解答 解：∵圆C的方程为x²+y²-6x+8=0，整理得：（x-3）²+y²=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y=2kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x-3）²+y²=4与直线y=2kx-2有公共点即可．
设圆心C′（3，0）到直线y=2kx-2的距离为d，
则d=$\frac{|6k-2|}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$≤2，即5k²-6k≤0，
∴k∈$[0，\frac{6}{5}]$，
故答案为$[0，\frac{6}{5}]$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x-3）²+y²=4与直线y=2kx-2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．