Question

8．将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且X～N（d，0.5²）．
（1）若d=90℃，求X小于89℃的概率．
（2）若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少为多少？

Answer 1

分析 （1）要求P（ξ＜89）=F（89），∵ξ～N（d，0.5）不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（-2.327），故需转化为标准正态分布的数值求解．
（2）转化为标准正态分布下的数值求概率p，再利用p≥0.99，解出d即可．

解答 解：（1）P（ξ＜89）=F（89）=Φ（$\frac{89-90}{0.5}$）
=Φ（-2）=1-Φ（2）=1-0.9772=0.0228．
（2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80），
即1-P（ξ＜80）≥1-0.01，∴P（ξ＜80）≤0.01．
∴Φ（$\frac{80-d}{0.5}$）≤0.01=Φ（-2.327）．
∴$\frac{80-d}{0.5}$≤-2.327．
∴d≥81.1635．
故d至少为81.1635．

点评 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确转化是关键．