Question

18．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最小值1时，则$\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． $4+2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $3+2\sqrt{2}$
• D． $3+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得3a+b=1，再运用“1”的代换利用基本不等式求得$\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}$的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{5x-3y-12=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1），
化目标函数z=ax+by为$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3a+b=1，
则$\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}$）（3a+b）=3+$\frac{b}{3a}+\frac{6a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$．
当且仅当a=$\frac{\sqrt{2}-1}{3}$，b=2-$\sqrt{2}$时取“=”．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．