Question

8．若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x₀，f（x₀）），记函数f（x）的导函数为g（x），则有g'（x₀）=0．若函数f（x）=x³-3x²，则$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$=-8066．

Answer 1

分析 推导出函数f（x）=x³-3x²的对称中心为（1，-2），由此能求出$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$的值．

解答 解：∵f（x）=x³-3x²，∴g（x）=3x²-6x，∴g′（x）=6x-6，
∵g′（x₀）=6x₀-6=0，∴x₀=1，∴f（x₀）=f（1）=f（1）=1-3=-2，
∴函数f（x）=x³-3x²的对称中心为（1，-2），
∴f（x）+f（2-x）=-4，
∴$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$=-4×2016+f（1）=-8064+1-3=-8066．
故答案为：-8066．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．