Question

20．已知关于x的不等式|x-3|+|x-m|≥2m的解集为R．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a²+9b²+c²的最小值及此时a，b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|，对x与m的范围讨论即可．
（Ⅱ）构造柯西不等式即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|
当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，
令|m-3|≥2m，
∴m-3≥2m，或m-3≤-2m．
解得：m≤-3，或m≤1
∴m的最大值为1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．
由柯西不等式：（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+1）（ 4a²+9b²+c²）≥（a+b+c）²=1，
∴4a²+9b²+c²≥$\frac{36}{49}$，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．
即当且仅当a=$\frac{9}{49}$，b=$\frac{4}{49}$，c=$\frac{36}{49}$时，4a²+9b²+c²的最小值为$\frac{36}{49}$．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的几何意义和解法以及柯西不等式的构造思想．属于中档题．