Question

4．若关于x的不等式xe^x-2ax+a＜0的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{5{e}^{2}}$，$\frac{1}{3e}$）
• B． [$\frac{1}{3e}$，$\frac{\sqrt{e}}{4e}$）
• C． [$\frac{1}{3e}$，e]
• D． [$\frac{\sqrt{e}}{4e}$，e]

Answer 1

分析 设g（x）=xe^x，f（x）=2ax-a，求出g（x）的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于（m，n），求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a，再由题意可得当x=-1时，求得a，通过图象观察，即可得到a的范围．

解答 解：设g（x）=xe^x，f（x）=2ax-a，
由题意可得g（x）=xe^x在直线f（x）=2ax-a下方，
g′（x）=（x+1）e^x，
f（x）=2ax-a恒过定点（$\frac{1}{2}$，0），
设直线与曲线相切于（m，n），
可得2a=（m+1）e^m，me^m=2am-a，
消去a，可得2m²-m-1=0，解得m=1（舍去）或-$\frac{1}{2}$，
则切线的斜率为2a=（-$\frac{1}{2}$+1）e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，
解得a=$\frac{1}{4\sqrt{e}}$，
又由题设原不等式无整数解，
由图象可得当x=-1时，g（-1）=-e^-1，f（-1）=-3a，
由f（-1）=g（-1），可得a=$\frac{1}{3e}$，
由直线绕着点（$\frac{1}{2}$，0）旋转，
可得$\frac{1}{3e}$≤a＜$\frac{1}{4\sqrt{e}}$，
故选：B．

点评 本题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，属于中档题．