Question

20．如图，以正四棱锥V-ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$＞=-$\frac{15}{49}$．
（1）求$\frac{h}{a}$的值；
（2）求二面角B-VC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得所用点的坐标，得到向量$\overrightarrow{BE}、\overrightarrow{DE}$的坐标，再由cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$＞=-$\frac{15}{49}$列式求得$\frac{h}{a}$的值；
（2）由（1）得到向量$\overrightarrow{BE}、\overrightarrow{DE}$的坐标，进一步得到$\overrightarrow{CB}、\overrightarrow{CD}$的坐标，求出平面BVC与平面DVC的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得二面角B-VC-D的余弦值．

解答 解：（1）由题意，可得B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），V（0，0，h），E（$-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{h}{2}$），
∴$\overrightarrow{BE}=（-\frac{3a}{2}，-\frac{a}{2}，\frac{h}{2}）$，$\overrightarrow{DE}=（\frac{a}{2}，\frac{3a}{2}，\frac{h}{2}）$．
故cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{{h}^{2}-6{a}^{2}}{{h}^{2}+10{a}^{2}}$，
又cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$＞=-$\frac{15}{49}$，∴$\frac{{h}^{2}-6{a}^{2}}{{h}^{2}+10{a}^{2}}=-\frac{15}{49}$，解得：$\frac{h}{a}=\frac{3}{2}$；
（2）由$\frac{h}{a}=\frac{3}{2}$，得$\overrightarrow{BE}=（-\frac{3a}{2}，-\frac{a}{2}，\frac{3a}{4}）$，$\overrightarrow{DE}=（\frac{a}{2}，\frac{3a}{2}，\frac{3a}{4}）$．
且$\overrightarrow{CB}=（2a，0，0），\overrightarrow{DC}=（0，2a，0）$．
设平面BVC的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3a}{2}{x}_{1}-\frac{a}{2}{y}_{1}+\frac{3a}{4}{z}_{1}=0}\\{2a{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=3，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，3，2）$；
同理可得平面DVC的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（-3，0，2）$．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{0×（-3）+3×0+2×2}{\sqrt{13}×\sqrt{13}}=\frac{4}{13}$．
∴二面角B-VC-D的余弦值为-$\frac{4}{13}$．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力和思维能力，考查计算能力，属中档题．