Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=qa_n+d（q，d为常数）．
（1）当q=1，d=2时，求a₂₀₁₇的值；
（2）当q=3，d=-2时，记${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}$，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，证明：${S_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）当q=1，d=2时，a_n+1-a_n=2，从而数列{a_n}是首项a₁=4，公差d=2的等差数列，由此能求出a₂₀₁₇．
（2）当q=3，d=-2时，a_n+1=3a_n-2变形得a_n+1-1=3（a_n-1），从而数列{a_n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列，进而数列{b_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，由此能证明${S_n}＜\frac{1}{2}$．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=qa_n+d（q，d为常数）．
∴当q=1，d=2时，a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是首项a₁=4，公差d=2的等差数列，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2，
∴a₂₀₁₇=2×2017+2=4036．
（2）证明：当q=3，d=-2时，a_n+1=3a_n-2变形得a_n+1-1=3（a_n-1）
∴数列{a_n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴${a_n}-1=3×{3^{n-1}}={3^n}$，∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}={（\frac{1}{3}）^n}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3^n}）＜\frac{1}{2}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的第2017项的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{1}{2}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．