Question

6．已知f（x）=3^x+m•3^-x为奇函数．
（1）求函数g（x）=f（x）-$\frac{8}{3}$的零点；
（2）若对任意t∈R的都有f（t²+a²-a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出m的值，从而求出f（x）的解析式，令g（x）=0，求出函数的零点即可；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，问题转化为t²+2at+a²-a+1≥0对任意t∈R恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
解得：m=-1，
∴f（x）=3^x-3^-x，令g（x）=0，即3^x-3^-x-$\frac{8}{3}$=0，
令t=3^x，则t-$\frac{1}{t}$-$\frac{8}{3}$=0，
即3t²-8t-3=0，解得：t=3或t=-$\frac{1}{3}$，
∵t=3^x≥0，∴t=3即x=1，
∴函数g（x）的零点是1；
（2）∵对任意t∈R的都有f（t²+a²-a）+f（1+2at）≥0恒成立，
∴f（t²+a²-a）≥-f（1+2at）对任意t∈R恒成立，
∵f（x）在R是奇函数也是增函数，
∴f（t²+a²-a）≥-f（-1-2at）对任意t∈R恒成立，
即t²+a²-a≥-1-2at对任意t∈R恒成立，
即t²+2at+a²-a+1≥0对任意t∈R恒成立，
∴△=（2a）²-4（a²-a+1）≤0，
∴a≤1，实数a的范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，考查函数的零点问题以及二次函数的性质，是一道中档题．