Question

17．已知双曲线的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF₂|=|F₁F₂|，且|QF₂|=2|PF₂|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为2d．过Q作l的垂线QQ₁，而过P作QQ₁的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有：$\frac{|N{F}_{2}|}{|MQ|}$=$\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}-d}{d}$=$\frac{1}{3}$，这样即可求得d=$\frac{3}{4}$（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$），根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF₂|=2c-2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到$\frac{2c-2a}{d}$=$\frac{c}{a}$，即可得出结论．

解答 解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；
过P作PP₁⊥l，QQ₁⊥l，分别交l于P₁，Q₁；
∵$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{P}_{1}|}$=$\frac{|Q{F}_{2}|}{|Q{Q}_{1}|}$，|QF₂|=2|PF₂|，
∴$\frac{d}{|Q{Q}_{1}|}$=$\frac{1}{2}$，|QQ₁|=2d；
过P作PM⊥QQ₁，垂直为M，交x轴于N，则：$\frac{|N{F}_{2}|}{|MQ|}$=$\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}-d}{d}$=$\frac{1}{3}$；
∴解得d=$\frac{3}{4}$（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）
∵根据双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=2c-2a；
∴根据双曲线的第二定义，$\frac{2c-2a}{d}$=$\frac{c}{a}$，
整理成：（e-1）（3e-5）=0
∴双曲线的离心率为$\frac{5}{3}$．
故选B．

点评 考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．