Question

7．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E
（Ⅰ） 求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=$\frac{5}{2}$，求二面角C-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （I）利用△ABE≌△CBE得出AE⊥BD，结合CE⊥BD得出BD⊥平面ACE，故而BD⊥AC；
（II）过E作EF⊥AD于F，连接CF，则可证明AD⊥平面CEF，故而∠CFE为所求二面角的平面角，利用勾股定理计算出EF，CF即可得出cos∠CFE．

解答 （I）证明：连接AE，
∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，
又AE?平面ACE，CE?平面ACE，AE∩CE=E，
∴BD⊥平面ACE，
又AC?平面ACE，
∴BD⊥AC．
（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，
∵平面ABD⊥平面BCD，CE?平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，
∴CE⊥平面ABD，又AD?平面ABD，
∴CE⊥AD，又AD⊥EF，
∴AD⊥平面CEF，
∴∠CFE为二面角C-AD-B的平面角，
∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，
∴BE=1，AE=CE=$\sqrt{3}$，DE=$\frac{3}{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，EF=$\frac{AE•DE}{AD}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，CF=$\sqrt{E{F}^{2}+C{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{210}}{7}$，
∴cos∠CFE=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴二面角C-AD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算，属于中档题．