Question

2．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M、N分别是棱A′B′、B′C′的中点，P是棱AD上一点，AP=$\frac{a}{3}$，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ的长度为$\frac{2\sqrt{\sqrt{2}}}{3}$a．

Answer 1

分析 如图所示，连接AC，A′C′．由正方体可得：四边形ACC′A′是矩形．M、N分别是棱A′B′、B′C′的中点，可得MN∥A′C′，由面面平行的性质定理可得MN∥PQ．可得PQ∥AC，$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{DP}{AD}$，即可得出．

解答 解：如图所示，连接AC，A′C′．
由正方体可得：四边形ACC′A′是矩形．
∴AC∥A′C′．
∵M、N分别是棱A′B′、B′C′的中点，∴MN∥A′C′．
平面A′B′C′D′∥底面ABCD，又过P、M、N的平面与棱CD交于Q，
∴MN∥PQ．
∴PQ∥AC，∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{DP}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
又AC=$\sqrt{2}$a，
∴PQ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a．

点评 本题考查了正方体的性质、线面面面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．