Question

12．如图，多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，△FBC中BC边上的高为FH，EF⊥FH，EF∥AB，
（1）求证：平面FBC⊥平面ABCD；
（2）若FH=2，EF=$\frac{3}{2}$，求该多面体的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出FH⊥BC，FH⊥AB，从而FH⊥平面ABCD，由此能证明平面FBC⊥平面ABCD．
（2）连结BE，CE，该多面体的体积：V_ABCDEF=V_E-ABCD+V_E-BCF，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，
△FBC中BC边上的高为FH，EF⊥FH，EF∥AB，
∴FH⊥BC，FH⊥AB，
∵BC∩AB=B，∴FH⊥平面ABCD，
∵FH?平面FBC，∴平面FBC⊥平面ABCD．
解：（2）连结BE，CE，
∵FH=2，EF=$\frac{3}{2}$，EF⊥FH，EF∥AB，AB⊥BC，
∴EF⊥BC，∵BC∩FH=H，∴BC⊥平面BCF，
∴该多面体的体积：
V_ABCDEF=V_E-ABCD+V_E-BCF
=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×FH+\frac{1}{3}×{S}_{△BCF}×EF$
=$\frac{1}{3}×（AB×BC）×FH$+$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×BC×FH）×EF$
=$\frac{1}{3}×3×3×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．