Question

18．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=2，AD=3，PA⊥平面ABCD且PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{42}}{7}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出 $\overrightarrow{PB}$，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；

解答 解：依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP
为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，AB=BC=2，AD=3，PA=2，则P（0，0，2），
B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），
从而$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-2），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{2a+2b-2c=0}\\{3b-2c=0}\end{array}\right.$，
不妨取c=3，则b=2，a=1，
所以平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，2，3），（4分）
所以PB与平面PCD所成角的正弦值
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{2-6}{\sqrt{{2}^{2}+（{-2）}^{2}}•\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}}$|=|$-\frac{\sqrt{7}}{7}$|=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
故选：B．

点评 本题考查了空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．