Question

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$cosC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 9π
• D． 36π

Answer 1

分析 由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解．

解答 解：∵bcosA+acosB=2，
∴由余弦定理可得：b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=2，整理解得：c=2，
又∵$cosC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{1}{3}$，
∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{\frac{1}{3}}$=6，可得：R=3，
∴△ABC的外接圆的面积S=πR²=9π．
故选：C．

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．